Когда появляется и разрушается гипотеза в математике

Несколько недель назад математики, среди которых были и выпускники НИУ ВШЭ, опровергли гипотезу о двухъярусной кровати. Она относится к теории перколяции – изучает возникновение связанных структур в независимых средах, не имела математического доказательства, но считалась верной 40 лет. Гипотеза утверждает, что вероятность возникновения связи между двумя вершинами на одном уровне выше, чем вероятность связи между уровнями. Математики из России с помощью методов машинного обучения сумели найти контрпример, разрушивший гипотезу. Профессор факультета компьютерных наук НИУ ВШЭ Михаил Вялый в колонке для IQ Media рассказывает, как появляются гипотезы, и о случаях, когда в экспериментах они не выдерживают проверки.

Содержание статьи:

Как появляются гипотезы

В математике утверждение считается истинным, если для него известно доказательство, и считается ложным, если есть доказательство его отрицания. Разумеется, про очень многие утверждения неизвестно ни того, ни другого.

Основная часть работы математиков состоит в попытках придумать доказательства или опровержения таких открытых вопросов или хотя бы догадаться до правильного ответа: истинно или ложно данное утверждение.

Догадки могут основываться на частичных результатах, вычислительных экспериментах или даже на голой интуиции – неформальном понимании «как оно есть на самом деле». Про некоторые из открытых вопросов в сообществе складывается впечатление, что они истинные. В таком случае утверждению придают статус гипотезы.

Когда утверждение считается истинным

Однако, какими бы ни были косвенные соображения в пользу гипотезы и насколько авторитетны люди, их высказывающие, статус открытого вопроса это не отменяет.

Пока нет доказательства, утверждение не считается истинным; пока нет опровержения – не считается ложным.

Это означает определенную гигиену в использовании таких утверждений: в формулировках теорем предположение об истинности той или иной гипотезы необходимо явно указывать. Такие работы не редкость, многие результаты в математике носят условный характер (строго говоря, все математические результаты являются условными, но не будем углубляться в эту тему).

Так, в теории чисел многие результаты доказаны в предположении гипотезы Римана о нулях дзета-функции. В теории вычислительной сложности огромное количество результатов доказано в предположении различия классов сложности P и NP. Эти гипотезы входят в список так называемых «задач тысячелетия» – основных открытых вопросов математики.

Конечно, не использующее дополнительных предположений доказательство гораздо ценнее условного. Например, большим успехом в алгоритмической теории чисел было изобретение в 2002 году эффективного алгоритма проверки простоты числа, хотя в предположении (расширенной) гипотезы Римана такой алгоритм был известен с середины 1970-х годов.

Когда гипотезы опровергаются

Случаются время от времени опровержения гипотез, которые были интересны многим и оставались открытыми долгий период. Один из самых ярких примеров – гипотеза Борсука (n-мерное выпуклое тело можно разбить на n+1 часть меньшего диаметра). В двухмерном и трехмерном случае это верно. В общем случае – нет. Опровержение гипотезы Борсука стало сюрпризом для почти всех, интересующихся комбинаторной геометрией.

Иногда бывает и так, что в доказательствах, которые считались верными в течение десятилетий, находили фатальные ошибки. Один из таких примеров в области динамических систем подробно обсуждается Дирком Шляйхером в коллекции заметок «Математическое доказательство: от поколения к поколению», опубликованной в сборнике «Математическое просвещение».

Чем помогут нейронные сети и машинное обучение

Верификация математических доказательств – серьезная проблема, решить которую могли бы компьютерные системы верификации доказательств.

Однако пока существующие программы верификации доказательств недостаточно сильны, чтобы принципиально повлиять на математическую практику. Их использование требует неприемлемо большого времени для подтверждения содержательного результата. Возможно, на прогресс в этой области могут повлиять нейронные сети и машинное обучение.

Кроме того, в математике есть еще одна возможность разрешения открытого вопроса: доказательство того, что имеющихся у нас формальных средств недостаточно ни для доказательства утверждения, ни для его опровержения.

Самый известный пример такого рода – континуум-гипотеза. Это предположение означает, что для любого бесконечного множества действительных чисел всегда можно установить взаимно-однозначное соответствие либо между элементами этого множества и множеством целых чисел, либо между элементами этого множества и множеством всех действительных чисел.

В теории множеств есть много других утверждений такого рода. Что касается утверждений о «маленьких» множествах, таких примеров пока нет. Есть основания подозревать именно такой исход в отношении многих гипотез в теории вычислительной сложности, в том числе, и знаменитой гипотезы «P не равно NP».