Движение точек во времени

В Издательском доме ВШЭ вышел перевод учебника Лан Вена «Дифференцируемые динамические системы. Введение в структурную устойчивость и гиперболичность». IQ.HSE публикует из него фрагмент, посвящённый основам динамических систем и тому, как математики исследовали их свойства.

Истоки теории динамических систем восходят к качественной теории дифференциальных уравнений, созданной Пуанкаре в конце XIX века. Дифференцируемые динамические системы — это та часть теории динамических систем, которая включает структурную устойчивость, гиперболичность, типичность, плотность и т.п.

Если рассуждать неформально, то динамическую систему можно рассматривать как некий абстрактный поток или движение точек во времени. Движение отдельных точек образует орбиты (в случае потока чаще говорят — траектории). Классическим примером динамической системы является поток, определяемый обыкновенным дифференциальным уравнением (или векторным полем). 

Предполагается, в силу определения потока, что любое решение задано на всей оси времени (−∞,∞), так что точки не убегают из фазового пространства. Самый специфический и простой случай орбиты — это орбита, состоящая из одной точки, которая называется особенностью векторного поля 1. Состоянием равновесия могут быть, например: сток, источник или седло. Если близкие точки экспоненциально приближаются к состоянию равновесия или удаляются от него, то оно называется гиперболическим. Следующий тип специальной орбиты — это периодическая орбита. Если близкие к ней точки экспоненциально приближаются или удаляются, то периодическая орбита также будет называться гиперболической.

Каждая научная дисциплина имеет множество интересных историй. В 1962 году Пейшото, по совету Лефшеца, возродил интерес к основополагающей работе Андронова и Понтрягина о структурно устойчивых векторных полях на двумерном диске и доказал такую теорему: векторное поле на ориентируемой замкнутой поверхности структурно устойчиво тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет следующим трем условиям: 1) у него конечное число состояний равновесия и периодических орбит, все они гиперболические; 2) каждая точка стремится как в положительном, так и в отрицательном направлении к состоянию равновесия или периодической орбите; 3) отсутствуют седловые связки 2. Более того, структурно устойчивые поля плотны в пространстве всех векторных полей.

По определению векторное поле называется структурно устойчивым, если все близкие векторные поля имеют топологически эквивалентные орбитные структуры. С любой точки зрения структурная устойчивость является понятием огромной важности. Однако оно довольно абстрактно: в его определении участвуют все близкие векторные поля, а это затрудняет работу с ним. В отличие от определения, в теореме Пейшото речь идет только о данном векторном поле в терминах лишь его состояний равновесия и периодических орбит. Эта замечательная глобальная теорема сразу же привлекла к себе внимание, в том числе внимание молодого математика С. Смейла. Через несколько лет в статье «О том, как я начал заниматься динамическими системами», опубликованной в издании «Математики своего времени», Смейл так описал историю своих исследований.

Читая работу Пейшото, Смейл сначала подумал, что аналогичный результат можно доказать и в более высокой размерности. Однако Левинсон написал ему, что вряд ли стоит надеяться на такой результат в общем случае. Левинсон привел трехмерный пример с бесконечным множеством периодических орбит, которые не исчезали при возмущениях. С некоторым недоверием к этому результату Смейл провел много времени (как он пишет, на пляже в Рио с ручкой и блокнотом), изучая работу Левинсона, и в конце концов изменил свое мнение. Фактически Смейл придумал следующий геометрический механизм, лежащий в основе аналитических результатов Левинсона и Картрайта и Литтлвуда.

На рисунке выше изображена площадка Q, трансверсальная направлению потока. Под действием этого потока площадка становится все более длинной и узкой, при этом сгибаясь в форме подковы, и затем возвращается обратно, пересекая Q. Смейл понял, что именно такой простой механизм является причиной постоянного присутствия бесконечного множества периодических орбит. Чтобы прояснить ситуацию, он перешёл от трёхмерного потока к двумерному отображению. Другими словами, он рассмотрел отображение так называемого «первого возвращения» f: Q → R² (см. рисунок ниже).

Тогда неподвижная точка отображения f будет соответствовать периодической траектории потока. Периодическая точка отображения f также соответствует периодической траектории потока, но совершающей при этом несколько оборотов. Смейл доказал, что f имеет бесконечное множество периодических точек, которые не исчезают при возмущениях. Это означает, что теорема Пейшото не выполняется в более высоких размерностях. Оказывается, что структурная устойчивость в больших размерностях может сосуществовать с высоким уровнем сложности (который иногда называют хаосом). Этот феномен стал неким символом современной теории дифференцируемых динамических систем.

Вскоре Смейл понял, что обнаруженное явление уходит своими корнями к удивительному гомоклиническому феномену, открытому Пуанкаре в его исследованиях по небесной механике, а также имеет отношение к работе Биркгофа о диффеоморфизмах поверхностей. Основываясь на отображении подковы и появившейся вскоре важной работе Аносова, Смейл пришел к понятию гиперболического множества, включающего (как частный случай) гиперболическую периодическую орбиту, а гипотеза об устойчивости, сформулированная им совместно с Палисом в качестве аналога критерия Пейшото, дала толчок ко многим важным работам и расцвету теории дифференцируемых динамических систем.

Что касается проблемы плотности структурно устойчивых систем, то здесь ситуация оказалась несколько иной. Начиная со Смейла многие авторы один за другим приходили к выводу, что в больших размерностях структурно устойчивые системы вообще не плотны. Другими словами, в пространстве всех систем существуют открытые области, подобные «странным дырам», где любая система не является структурно устойчивой. Бонатти и Диаз обнаружили даже дыру U с универсальной динамикой в том смысле, что (в отличие от ситуации с единственностью динамики вблизи структурно устойчивой системы) около любой системы из U, с точностью до соответствующей итерации, может встретиться любая динамика! Динамические системы, кажется, созданы для того, чтобы удивлять нас! 

В 1990-х годах Палис предложил ряд гипотез для выяснения общих особенностей динамики в дырах и, в частности, выдвинул гипотезу о плотности, утверждающую, что в дырах плотны системы со специфической неустойчивой динамикой, а именно, с гомоклиническими бифуркациями. Эти гипотезы вызвали появление большого числа замечательных работ. Так тайны природы, чудеса природы раскрываются шаг за шагом исследователями разных эпох…
IQ