В Издательском доме ВШЭ вышла книга американского философа и историка науки Питера Галисона «Часы Эйнштейна, карты Пуанкаре: империи времени». IQ.HSE публикует из неё фрагмент, посвящённый начальным этапам интеллектуальной жизни Анри Пуанкаре — от его работы в шахтах и до создания «Новых методов небесной механики».
Перед тем как обратиться к часам, стоит сначала уделить внимание двум обстоятельствам в самом начале профессиональной карьеры Пуанкаре, потому что они расскажут нам многое о том, кем был Пуанкаре, как он мыслил и каково было его место в турбулентном потоке науки и техники. В качестве условного обозначения мы можем назвать эти два эпизода сюжетами об угле и хаосе: в течение первого десятилетия своей работы — с конца 1870-х годов до приблизительно 1890 года — Пуанкаре боролся не только с новой чрезвычайно неустойчивой механикой Солнечной системы, но также с грязным и опасным миром горной промышленности Франции конца XIX века.
Получив высшее образование в 1875 году, Пуанкаре, следуя традиции, перешел с двумя другими лучшими выпускниками своего курса в Горную школу Парижа. Именно там все трое — Пуанкаре, Бонфуа (Bonnefoy) и Птидидье (Petit-didier) — в октябре того же года приступили к учебе. Научный руководитель Пуанкаре, математик Оссиан Бонне, пытался снизить нагрузку для Пуанкаре, имея в виду его математическую работу, но Горная школа Парижа не хотела ничего об этом слышать. Таким образом, Пуанкаре вынужден был дописывать свою научную работу по математике, параллельно изучая входы и выходы вентиляционных шахт. В 1877 году геологические полевые работы привели его в Австрию и Венгрию.
Кривая счастья Пуанкаре (с детализацией) / Архив Анри Пуанкаре, М021.
Это письмо, написанное Пуанкаре матери летом 1879 года, содержит нарисованную от руки карту его геологических путешествий и геометрическую кривую, показывающую «границы его радости» в «обычное время», «вчера», «во время учёбы» и «прямо сейчас».
Культурный кругозор Пуанкаре также расширялся. Его обожаемая младшая сестра Алина познакомила его с философом Эмилем Бутру, за которого она впоследствии вышла замуж. Бутру и Пуанкаре немедленно начали обсуждать философию.
Получив высшее образование в Гейдельберге еще до Франко-прусской войны, Бутру сделал своим философским кредо типично немецкое устремление того времени объединить гуманитарные и естественные науки. Очень работоспособный, пылкий, религиозный Бутру доказывал (следуя [нео]кантианству, впитанному в Гейдельберге), что большинство [открытий] в науке связаны скорее с разумом, нежели с тем, что «снаружи». Через Бутру Пуанкаре познакомился с другими философами, включая интересующегося философией математика Жюля Таннери. Хотя они и не разделяли религиозности Бутру (Таннери был яростным светским республиканцем), тем не менее, все без исключения были заняты поисками среднего пути между наукой как простым наблюдением и наукой как мысленным экспериментом.
Пуанкаре, судя по всему, нашёл этот подход привлекательным. В течение многих лет он также доказывал, что наука нуждается в некотором смешении индукции и дедукции. Как однажды, примерно в 1877 году, Пуанкаре выразился в своём письме к Алине, наблюдение и индукция должны рассматриваться с «осторожностью». И добавил: «...ты скажешь, индукция может дать нам только знание того же рода, что и сами наблюдения; наблюдения же не могут научить нас ничему относительно субстанции <...> они могут только показать нам сам феномен; и даже не феномен сам по себе; но только ощущения, которые он производит в нас». Опыт, твердил Пуанкаре своей сестре, никогда не может быть достаточным для обоснования всеобщности знания. «Что тут поделать; будем брать то, что принадлежит нам, что же до остального, мы должны смиренно признать, что оно останется для нас навсегда непрочтённым письмом».
Ещё один коллега Пуанкаре по Политехнической школе, наполовину философ, наполовину учёный Огюст Калинон, придерживался похожей, весьма осторожной позиции относительно знания, которое «не принадлежит нам». В 1885 году Калинон опубликовал трактат об основаниях механики и геометрии. По всей видимости, когда он и Пуанкаре встретились в начале августа 1886 года, они неплохо понимали друг друга. Калинон передал Пуанкаре экземпляр своей недавно опубликованной книги «Критическое исследование механики», которая начиналась с прямого предостережения относительно абсолютизации пространства и времени:
Многие авторы, как в математике, так и в философии, принимают понятие абсолютного движения в качестве первопринципа (idée première). Это мнение неоднократно оспаривалось; <...> стоит отметить, что с точки зрения рациональной механики это понятие не имеет смысла; движение точки, рассмотренное обособленно, является исключительно метафизической конструкцией, поскольку, даже допуская, что можно представить себе подобное движение, невозможно подтвердить его и определить его геометрические условия, например форму его траектории.
По причине недостижимости абсолюта Калинон считал возможным говорить только об относительном движении. Аналогичным образом, полагал он, одновременность также должна быть чем-то интерсубъективным: два находящихся в движении удалённых друг от друга небесных тела будут названы одновременными только в том случае, если кто-то будет наблюдать их «в одно и то же время».
Для Калинона человеческая регистрация событий была настолько важна, что он хотел даже учесть то время, которое требуется мозгу для обработки восприятий: «Таким образом, сама идея времени является неотъемлемо присущей тому способу, посредством которого функционирует наш мозг, и не имеет смысла за пределами разума, устроенного схожим образом». Без сомнения, речь идет об одной из разновидностей кантианства, но кантианства гораздо более психологического (или психофизиологического) по сравнению с тем, которое доминировало на немецкоязычной сцене того времени.
По-видимому, Пуанкаре сразу же написал ответное письмо, пройдясь в нём по каждому пункту. Хотя это письмо утрачено, ответ Калинона, тем не менее, сохранился. Из него становится ясно, что самый первый комментарий Пуанкаре касался понятия «в то же самое время». Похоже, Пуанкаре согласился с тем, что «...только посредством наших ощущений мы судим об одновременности или последовательности».
Философские спекуляции Пуанкаре о границах научного знания, ограниченной силе наблюдения и активной роли, которую должен играть разум в построении науки, были темами, которые оставались с ним до конца жизни. Но ни одно из этих метафизических размышлений не прервало ни его математической работы (он подготовил свою математическую диссертацию к 1878 году), ни его работы в горнодобывающей промышленности.
В марте 1879 года Пуанкаре получил степень «ординарного инженера» в Горной школе Парижа. А уже 3 апреля он переехал в Везуль, где буквально на следующий день начались его инспекции, проводившиеся интенсивно в течение последующих нескольких месяцев. 4 июня 1879 года он сообщил, что Сен-Шарль только что исчерпал свои запасы: «...жилы бедны и нерегулярны». 25 сентября на шахте Сент-Полин он сосредоточился на аэрации, ликвидации источников газа и воды — как раз на одной из тех инженерных задач, которым придавала особое значение Горная школа Парижа. Месяц спустя, 27 октября, Пуанкаре прибыл на шахты Сен-Жозефа для контроля плавильных работ. Его последняя горнопромышленная инспекция состоялась 29 ноября 1879 года.
Но одна остановка на этом маршруте — в Маньи — была далеко не рутинной. 31 августа 1879 года в 6 часов вечера 22 человека спустились в начале смены в угольную шахту. Около 3:45 утра в шахте раздался взрыв, мгновенно поразивший лампы шахтёров. Двое шахтёров в клети были контужены, двое были отброшены в отстойник (который, к счастью, был накрыт досками на глубине около пяти футов). Все четверо уцелевших выбрались на поверхность. Прораб шахтёров Жюф, который в тот момент был неподалеку, немедленно повел рабочих обратно в шахту. По дороге они обнаружили кучу тлеющей одежды и затушили её, стремясь предотвратить возгорание деревянных защитных конструкций, угля или — что хуже всего — повторения катастрофического взрыва газа. Идя на стоны, они обнаружили 16-летнего Эжена Жанруа, который умер от ран на следующий день. Все остальные шахтёры, которых обнаружила группа в ходе поисков, были мертвы. Некоторые из них скончались от ужасных ожогов.
Несмотря на риск повторного взрыва, Пуанкаре вошел в шахту почти сразу же после взрыва, в разгар спасательной операции. Работа новоиспеченного горного инженера состояла в том, чтобы разобраться, что послужило причиной катастрофы. Разыскивая первую роковую искру, он прежде всего обратился к лампам. Разработанные Гемфри Дэви в 1815 году, эти «безопасные лампы» окружали пламя плотно сотканными сетками, которые пропускали свет и воздух, но предотвращали его распространение вовне.
Дырявая лампа в наполненной метаном шахте являлась бомбой замедленного действия. Лампы с номерами 414 и 217 принадлежали Виктору Феликсу и Эмилю Дусэ; они так и не были найдены. Лампа № 18 была существенно повреждена в результате обвала — её сетка и стекло не были найдены, стержни погнуты и сломаны, а верхушка полностью отделена от основы.
Его внимание, писал Пуанкаре в своём отчёте по результатам расследования, особенно привлекла лампа № 476, у которой отсутствовало стекло и было два сквозных прокола. Первый прокол, длинный и широкий, по всей видимости, возник в результате внутреннего давления. Второй, прямоугольной формы, напротив, был, очевидно, вызван внешним механическим воздействием; в действительности, по словам рабочих, отверстие было точной копией пробоины, оставляемой стандартной шахтёрской киркомотыгой. Данная лампа числилась за Огюстом Пото, 33-летним шахтёром. Однако она была найдена не рядом с его телом. Вместо этого, констатировал Пуанкаре, лампа № 476 по-прежнему висела на деревянном нагеле в нескольких дюймах от земли в непосредственной близости от трупа рабочего Эмиля Перроза. Пуанкаре и спасатели обнаружили лампу самого Перроза целой и невредимой в другом месте.
На протяжении всего отчёта Пуанкаре перемежал фактический материал личными замечаниями, которые ещё не были выхолощены многолетней работой по расследованию несчастных случаев. Он рекомендовал премировать прораба за проявленную им храбрость и закончил медицинский раздел скорбным выражением надежды на то, что шахтёры погибли мгновенно, будучи избавленными от долгих мучений. В заключение Пуанкаре перечислил имена не только жертв, но также 9 женщин и 35 маленьких детей, оставшихся без своих кормильцев: «Даже щедрые усилия компании будут, возможно, недостаточными для облегчения такого огромного горя».
Исследуя причины инцидента, выдвигая гипотезы и контргипотезы, рассматривая их одну за другой и сопоставляя с фактами, Пуанкаре переходит на аналитический язык. Он отмечает, например, такой известный факт, что шахтёры, располагающиеся на пути взрывной волны, распространяющейся против течения воздушного потока, как правило, получают ожоги, те же, кто находится позади источника взрыва по течению воздуха — задыхаются. В катастрофе в Маньи все погибшие получили ожоги, поэтому логично предположить, что взрыв произошел в том районе, где находился наиболее отдаленный шахтёр — Дусэ. Обвалы вроде бы подкрепляли это заключение и подсказывали, что взрыв газа произошел где-то в «полумесяце». Однако этому, казалось бы, правдоподобному представлению противоречила другая гипотеза, которая «...также хорошо сочеталась с фактами». В частности, Пуанкаре рассматривал возможность взрыва рядом с деревянным нагелем, непосредственно прилегающим к тому месту, где находилась лампа № 476:
Таким образом, мы стоим на распутье двух одинаково правдоподобных гипотез: взрыв произошел в районе «полумесяца», и взрыв произошел в верхней части подъемной клети. Без лампы Дусэ нельзя полностью подтвердить то, что именно она вызвала первичное возгорание газа. Но разнообразные соображения подкрепляют догадку о том, что первичная авария имела место в рабочем пространстве Перроза.
Поскольку Перроз был грузчиком угля и, следовательно, не имел кирки, Пуанкаре заключил, что, должно быть, именно Пото случайно продырявил лампу своей киркой, а затем ненароком поменялся лампами с Перрозом. В какой-то момент после этого обмена проколотая лампа № 476 воспламенила атмосферный метан, вызвав возгорание, и спровоцировала вторичный взрыв в точке, где не до конца сгоревший газ столкнулся с основным потоком воздуха.
Карта взрыва Маньи / Roy, Duglas. Henri Poincaré. 1954. P. 13.
Пуанкаре нарисовал эту карту для того, чтобы проследить поток воздуха через шахту Маньи во время своей службы в качестве горного инженера по безопасности. На основании проведенного им расследования он заключил, что фатальный взрыв 31 августа 1879 года произошёл вовсе не в районе «полумесяца», расположенного в верхней части карты, но был вызван неумышленным шахтёрским проколом «надежной» лампы Дэви.
Шаг за шагом Пуанкаре продвигался в своём расследовании, один за другим элиминируя другие возможные источники газа: одни источники были вне потока воздуха, другие жилы угля были слишком стары, чтобы стать источником газа. В качестве дополнительного аргумента он приводил мысль о том, что газ из любого удаленного источника поднимался бы в направлении поверхности земли и не затрагивал бы низковисящую лампу № 476. Всякое же медленное выделение газа могло бы привести к удушению Перроза, который, согласно заключению медиков, умер стоя. Нет, заключил Пуанкаре, газ, должно быть, начал поступать неожиданно, вероятно, из вентиляционного отверстия для природного газа неподалеку от лампы № 476. Когда же газ достиг проколотой лампы, шахтёры были обречены.
Пуанкаре работал над расследованием несколько месяцев. Он вернулся в шахту 29 ноября 1879 года для того, чтобы понаблюдать за механизмом аэрации, провести несколько тестов по измерению потока воздуха и определить относительное давление воздуха в разных частях шахты.
1 декабря 1879 года он предоставил свой отчёт в Везуль. В тот же день Министерство народного просвещения сообщило ему, что он назначен младшим преподавателем на факультет естественных наук в Кане. Но ни математика, ни какие-либо иные его увлечения никогда полностью не отвлекали Пуанкаре от его интереса к горнодобывающей промышленности. В конце 1879 года он ещё продолжал надеяться на возможность совмещения карьеры горного инженера с преподаванием математики. Фактически он никогда не покидал Горную школу Парижа: получив звание главного инженера в 1893 году, Пуанкаре стал генеральным инспектором 16 июня 1910 года.
Незадолго до смерти, в 1912 году, он опубликовал статью, озаглавленную «Les Mines», в книге, которую он и несколько его коллег выпустили для того, чтобы произвести синтез культурологии, науки и техники. Вступительному слову Пуанкаре предшествует небольшая картинка лампы Дэви без комментариев. Для него, однако, — красноречивый символ всё ещё тлеющей шахты Маньи 35-летней давности. «Одной искры, — писал Пуанкаре, — было достаточно для воспламенения...; что ж, я отказываюсь описывать последующий ужас».
Делая наброски и работая над улучшением механизма шахтовых светильников, подъемников и вентиляторов, Пуанкаре параллельно трудился и над математическими проблемами, которые были в то же время и физическими. Эти проблемы сходились в том, что стало называться знаменитой проблемой небесной механики — проблемой трёх тел.
Её достаточно легко сформулировать. Для тела, находящегося в движении, справедлив ньютоновский закон, что оно будет сохранять своё движение. Движение двух тел, притягивающихся друг к другу посредством гравитации, также разрешимо. Когда Ньютон и его последователи выдвинули упрощающее предположение, что планеты притягивались только Солнцем (а не друг другом), для них было уже пустяковой задачей вычисление точной траектории движения этих тел вокруг солнца. Но для системы из трёх и более взаимно притягивающихся объектов, таких как Солнце, Луна и Земля, ситуация выглядела гораздо сложнее. Для определения траекторий их движения должны были быть решены 18 взаимосвязанных уравнений.
Если пространство измеряется тремя осями х, у и z, тогда полное описание движения небесных тел потребует описания всех координат по осям х, у и z в каждый момент времени для каждого из трех небесных тел (это девять уравнений), вместе с импульсом каждого из них в каждом направлении (другие девять). Если выбрать правильные координаты, эти 18 уравнений могут быть сведены к 12.
Многие математики середины XIX века видели в качестве основной тенденции развития своей дисциплины оттачивание все более строгих формулировок: чёткие определения, строгие доказательства, разработанные для устранения малейшей тени сомнения. Такая страсть к герметичным логическим доказательствам не входила в учебный план Политехнической школы и поэтому не стала и главной заботой Пуанкаре. Он не искал более эффективные методы решения уравнений, хотя в астрономии подобные исследования могли бы увеличить точность предсказаний места обнаружения той или иной планеты.
Картография эфемерид (так называлось сопоставление координат астрономических объектов) была важным делом для корабельной навигации. Вычисления такого рода, важные как с теоретико-научной, так и с практической точки зрения, были соблазнительными для выпускников Политехнической школы, таких как Пуанкаре. Но идти проторенным путем он уже не мог: ему удалось показать, что обычные методы аппроксимации для нахождения эфемерид давали совершенно неправильные прогнозы местонахождения планет. Не будучи поклонником строгости как ориентира чистой математики, Пуанкаре, убежденный в бесперспективности применяемой астрономами традиционной мертвой хватки [death grip] численных методов, нуждался в совершенно ином, новаторском подходе.
Пуанкаре проложил новый путь к небесной механике через диаграммы: он сосредоточился на том, что он называл качественными аспектами дифференциальных уравнений. Дифференциальное уравнение задаёт, каким образом система вещей — точек, планет или молекул воды — изменяется от одного момента до бесконечно более позднего другого момента. Само по себе это не очень полезно при прогнозировании: знание о том, где планета окажется в следующее мгновение, не поможет судовому навигатору. Для полезных долгосрочных прогнозов астроном должен суммировать множество бесконечно малых изменений, чтобы вычислить, например, где будет находиться Марс в следующем июне. Для многих механиков решение подобных задач означало исчисление (интегрирование) и представление окончательного результата в простой, узнаваемой форме. Но это не было целью Пуанкаре.
Приблизительно с того самого момента, как Пуанкаре покинул горнорудную шахту, он нацелился на создание своего собственного способа решения дифференциальных уравнений. Вместо того чтобы отслеживать движение одной капли воды от начала до конца, он хотел охарактеризовать схему течения сразу всех капель, составляющих поток воды. После составления общей схемы потока он намеревался определить свойства системы в целом. Например, сколько образовалось вихрей — шесть, два, ни одного? Такой подход не привел бы ни к элегантной формуле для определения скорости каждой конкретной капли в разных местах потока, ни к новой числовой схеме для аппроксимации положения Марса 12 апреля следующего года. Вместо этого Пуанкаре искал картину, которая могла бы уловить «физиогномию» уравнения и физической системы, которую оно описывало. При каких условиях астероид или планета улетят в космос? Будут приближаться к Солнцу? Конечно, подобные исследования были абстрактными, математическими; но они были в то же время и очень конкретными. Пуанкаре хотел прежде всего понять кривые и их качественное поведение. Детали формул, числовые прогнозы и наивысшая степень строгости могли быть додуманы и доработаны позднее.
Делая ставку на полноту визуально-геометрического подхода, а не на холодную точность алгебры, Пуанкаре теперь с гораздо большей изощренностью возвращался к математическим амбициям Политехнической школы значительно более раннего периода. Великие абстрактные формулы Эйлера, Лапласа или Лагранжа были не для него. В частности, Лагранж так сильно сомневался в геометрии, что поклялся, что его великая работа по аналитической механике будет основана исключительно на алгебре и никогда не будет опираться на геометрические конструкции. Ни одна механическая аналогия и ни один график не запятнают страниц его сочинения.
В отличие от него Пуанкаре работал именно в геометрическом русле, и механические аналогии были всегда под рукой. Уже в 1881 году, сосредоточившись на дифференциальных уравнениях, которые были связаны с проблемой трёх тел, он подчеркнул свои квалитативные, интуитивные амбиции:
Разве нельзя поставить вопрос, будет ли одно из этих тел всегда оставаться в некотором участке неба или оно сможет удалиться в бесконечность? Или вопрос о том, будет ли расстояние между двумя из этих тел неограниченно убывать, или, напротив, это расстояние всегда заключено в определенных пределах? Разве нельзя поставить тысячу вопросов такого рода, и все эти вопросы будут разрешены, как только мы сумеем качественно построить траектории этих трех тел.
Здесь, в смежной области геометрически-визуализированного и физического, находились проблемы, к которым Пуанкаре возвращался раз за разом, подобно тому, как он возвращался на протяжении всей своей научной карьеры к вопросам о дифференциальных уравнениях в математике и проблеме трех тел в физике. Как он выразился в 1885 году (относительно одной из своих важнейших работ по математике), нельзя, «...читая <...> работы прошлых лет, не поражаться сходству различных вопросов, которые в них рассматриваются, с великой астрономической проблемой стабильности Солнечной системы». Механика, машины всегда где-то неподалеку. Это было фабричным штампом.
Пуанкаре так успешно продвигался вперед со своей качественной программой для понимания характера дифференциальных уравнений, что привлёк внимание математиков с мировым именем. Когда в середине 1885 года журнал Nature опубликовал анонс математического конкурса в честь шестидесятилетия со дня рождения Оскара II, короля Швеции, Пуанкаре был главным претендентом на победу. Густаву Миттаг-Леффлеру, знаменитому математику и издателю Acta Mathematica, было поручено формирование конкурсной комиссии. Первым он пригласил Шарля Эрмита, одного из учителей Пуанкаре в Политехнической школе, а затем учителя самого Эрмита, грозного немецкого математика Карла Вейерштрасса, чья математическая жизнь уже долгое время протекала в безжалостной логической строгости. (Миттаг-Леффлер состоял в дружеских отношениях с Пуанкаре.) Заявки принимались до 1 июня 1888 года: первый же вопрос касался проблемы трёх тел.
В промежутке между публикацией анонса и объявлением дедлайна Французская академия наук избрала Пуанкаре в свои ряды. Это был знак признания. Это означало, что по состоянию на 31 января 1887 года, в возрасте 32 лет, он стал членом французской научной элиты. Членство в академии означало, что он мог привлекаться (а зачастую и был привлечен) к широкому кругу административных функций, от Бюро долгот до межведомственных комиссий, охватывающих различные правовые, военные и научные области. Легко приспосабливаясь к этой новой социальной роли, Пуанкаре начал писать для более широкой аудитории. Из почти 100 научно-популярных текстов, написанных им для газет, журналов и научных обозрений, можно пересчитать по пальцам одной руки работы, созданные им до момента избрания в Академию наук.
На протяжении всей его карьеры визуальные, интуитивные методы служили Пуанкаре путеводной звездой. Он использовал неевклидову геометрию как способ решения проблем в самом начале своей работы. Опираясь на визуальные (топологические) техники, отточенные в течение десятилетнего исследования дифференциальных уравнений, Пуанкаре вступил в конкурсное состязание под лозунгом на латинском языке «Ибо звезды не преступят отведенных им пределов». Этим изречением многое было сказано. Формально Пуанкаре стремился установить границы движения, вызванного взаимным притяжением планет, подтверждая стабильность Солнечной системы. За пределами же математики девиз Пуанкаре отражал его глубокую веру в фундаментальную стабильность мира вокруг него. Несмотря на примечательность достижений нескольких участников, занявших второе место, Пуанкаре выиграл соревнование за явным преимуществом, предлагая не только результаты, но также множество новых методов, которые поместили его достижения на вершину математики. С миром все было, или казалось, что было, в порядке.
После предоставления рукописи премированной статьи (возможно, размышляя о роли, которую сыграла его собственная качественная, визуально-ориентированная работа в демонстрации стабильности Солнечной системы) Пуанкаре посвятил себя изучению роли логики и интуиции в математических науках и педагогике. По его мнению, современные математики, просматривая старые математические книги, видят упущения в их строгости. Множество старых понятий — точка, линия, поверхность, пространство — сегодня кажутся до абсурда расплывчатыми. Доказательства «наших отцов» выглядят хрустальными структурами, неспособными выстоять под тяжестью своего собственного веса.
Пуанкаре признавал, что сегодняшние математики, в отличие от своих предков, знают, что существует множество причудливых функций, которые «...изо всех сил стремятся к тому, чтобы как можно меньше походить на правильные функции, имеющие некоторые прагматические цели». Эти новые функции могут быть непрерывными, но они построены таким причудливым образом, что нельзя определить их угловой коэффициент. Хуже того, сокрушался Пуанкаре, таких странных функций, по всей видимости, большинство. Простые законы кажутся не чем иным, как частными случаями. Было время, когда новые функции изобретались для служения конкретным целям; сегодня же мы, математики, изобретаем их для того, чтобы показать ошибочность рассуждений наших учителей.
Если бы нам надлежало следовать строго логическому пути, мы бы с самого начала знакомили новичков, делающих первые шаги в математике, с этим «тератологическим музеем» для причудливых новых функций.
Но этот путь «уродств» был вовсе не тем путем, которым Пуанкаре советовал следовать своим читателям — студентам или состоявшимся математикам. В математическом образовании, утверждал он, не стоит принижать роль интуиции в перечне культивируемых интеллектуальных способностей. Какой бы важной ни была логика, именно при посредничестве интуиции «...математический мир остается в контакте с реальным миром; и хотя чистая математика могла бы обойтись без неё, всегда необходимо возвращаться к интуиции, чтобы преодолеть пропасть, которая отделяет символ от реальности».
Практики всегда нуждаются в интуиции, а на каждого чистого геометра приходятся сотни практиков, которые лазают по траншеям. Даже чистый математик все же зависит от интуиции. Логика может дать доказательства и опровержения, но именно интуиция была ключом к созданию новых теорем, новых математик. Пуанкаре был прямолинеен: математик без интуиции подобен писателю, запертому в клетке, в которой нет ничего, кроме грамматики. Его мнение поэтому состояло в том, что методика обучения (он явно имел в виду Политехническую школу, где к тому времени преподавал) должна придавать особое значение интуиции и уходить прочь от этих формальных, неинтуитивных функций, которые служат только тому, чтобы порочить математическое наследие наших математических предков.
Этот призыв к математической интуиции появился в печати как раз в тот момент, когда должна была быть опубликована премированная работа Пуанкаре. Но в июле 1889 года Эдвард Фрагмен (Edvard Phragmén), 26-летний шведский математик, работавший редактором в Acta у Миттаг-Леффлера, заметил несколько проблем в построении доказательства. Он передал свои соображения Миттаг-Леффлеру, который 16 июля радостно сообщил Пуанкаре, что за единственным исключением «...от них можно быстро избавиться».
Пуанкаре вскоре осознал, что упомянутое исключение не было устранимо так легко, как это казалось на первый взгляд; это была не типографская ошибка, не простой пробел, легко восполняемый несколькими дополнительными строками более выверенных математических рассуждений. С его работой было что-то коренным образом не так. Не только приз, но и его собственная, а также журнальная и судейская репутация стояли на кону. Пуанкаре должен был выяснить, в чём дело.
В чём же была проблема? Как и в своих исследованиях дифференциальных уравнений, Пуанкаре рассматривал три тела: небольшой астероид, движущийся в орбитальной системе Юпитера и Солнца. Как могла бы выглядеть траектория движения этого астероида? Самое очевидное, что приходит на ум, — простое периодичное движение по кругу: астероид возвращался бы каждый раз в одно и то же место с одинаковой скоростью.
Для того чтобы представить подобные повторяющиеся орбиты максимально простым способом, Пуанкаре выдвинул потрясающую идею: не нужно думать о самой траектории. Пуанкаре понял, что вместо этого он может рассмотреть ситуацию, когда астероид, раз за разом проходя по кругу, создавал бы своеобразный стробоскопический рисунок, который стал впоследствии известен как «отображение (карта) Пуанкаре». Строго говоря, этот рисунок показывал импульс и координаты астероида на каждом витке, но мы также можем уловить его идею, представив себе огромный лист бумаги, намного больше любой планеты, расположенный в пространстве перпендикулярно траектории движения астероида.
Представьте, что каждый раз, когда астероид возвращается, он пробивает отверстие F в этом космических размеров листе бумаги. На простой периодической орбите астероид будет пробивать лист в одном и том же месте и проходить в ту же дырку снова и снова, целую вечность. Это отверстие называют фиксированной точкой. Другими словами, идея Пуанкаре заключалась в том, чтобы исследовать узоры, оставленные астероидом на проколотом двумерном листе, а не всю его траекторию движения в пространстве.
Если астероид начинал движение по своей орбите в других координатах и на другой скорости, он не обязательно двигался таким простым повторяющимся образом. Например, представим, что другой идентичный астероид пролетел сквозь лист рядом, но не через отверстие F. Одна из возможностей заключается в том, что при движении по кругу, виток за витком, на листе появится последовательность отверстий, которая будет приближаться к F и, в пределе, достигнет её. Представим кривую S, проведённую через последовательность этих отверстий. Эта кривая S называется стабильной, если астероид начинает движение где-нибудь на линии (т.е. если его проколы начинаются где-то на кривой), постепенно стремясь к орбите, которая проходит через отверстие F. И наоборот, кривая называется нестабильной, если астероид, прошедший когда-либо через F, начинает постепенно отдаляться от основной орбиты.
Главный тезис Пуанкаре в его премированной работе состоял в том, что если проколы астероида отдаляются от фиксированной точки F, то они будут в конце концов двигаться в сторону другой фиксированной точки. Подобный результат описывал бы упорядоченный, ограниченный мир, полностью соответствующий девизу Пуанкаре о звездах, окаймленных своими пределами. Подвигнутый Фрагменом к более тщательному исследованию своей идеи, Пуанкаре работал над этой проблемой в течение последних нескольких месяцев 1889 года, и его уверенность в планетарной стабильности Солнечной системы начала гаснуть. Тем временем премированная работа вышла из печати.
Карта Пуанкаре
«Стробоскопические» диаграммы Пуанкаре, отслеживающие повторяющиеся проколы листа, так напоминали картографическую репрезентацию, что они стали повсеместно известны как «карты Пуанкаре», с характеристиками, которые обычно именуются «островами», «проливами» и «долинами». Первая карта изображает стабильную «кривую» S, по которой проколы последовательно сходятся по направлению к фиксированной точке F. Вторая карта — нестабильную кривую U с последовательными точками, отдаляющимися от F. А третья карта изображает пересечение обеих — стабильной и нестабильной — кривых в F. В этом случае прокол C0 рядом со стабильной кривой S сопровождается последующими проколами, прогрессирующими по направлению к F (оставаясь при этом недалеко от S), а затем отдаляясь от F (оставаясь при этом поблизости от нестабильной кривой U).
В воскресенье, 1 декабря 1889 года, Пуанкаре признался Миттаг-Леффлеру:
Я не буду скрывать от вас то огорчение, которое вызвало во мне обнаружение этого недочёта. Во-первых, я не уверен, считаете ли вы всё ещё, что полученные результаты, т.е. существование периодических решений, асимптотические решения, [а также моя критика предыдущих методов], заслуживают той высокой награды, которую я получил от вас.
Во-вторых, потребуется множество переработок, и я не уверен, стоит ли приступать к печати моего текста; я уже телеграфировал Фрагмену. В любом случае, мне остаётся только признаться в своей озадаченности столь преданному другу, как вы. Я напишу вам подробнее, когда смогу понять ситуацию более ясно.
Среда, 4 декабря: Миттаг-Леффлер в письме Пуанкаре признается, что с «чрезвычайным недоумением» узнал от Фрагмена, как Пуанкаре оценивает ситуацию с рукописью. «Я не сомневаюсь, что ваш труд в любом случае будет расценен большинством геометров в качестве гениальной работы и что он станет отправной точкой для всех будущих начинаний в небесной механике. Поэтому не думайте, что я сожалею о призе... Но вот что самое ужасное. Ваше письмо пришло слишком поздно, и текст уже вышел из печати».
Напишите мне, пожалуйста, письмо, продолжал он, в котором объясните, что, основываясь на вашей переписке с Фрагменом, вы обнаружили, что предполагаемая стабильность не была в действительности доказана для всех случаев и что вы отправите мне исправленную рукопись. Миттаг-Леффлер добавил, что нужно замолвить словечко за Фрагмена — в университете открылась кафедра. «Да, мои враги, приобретенные в результате успеха Acta, устроят по этому поводу скандал, но я приму его со спокойным сердцем, поскольку нет ничего предосудительного в том, чтобы ошибиться вместе с вами. Я твердо убежден, что вы в конце концов разделаетесь с наиболее сложными нюансами этого необычайно трудного вопроса».
На следующий день Миттаг-Леффлер начал действовать. Он сообщил Пуанкаре, что телеграфировал в Берлин и Париж своё требование о немедленном изъятии из распространения всех до единого экземпляров забракованного журнала. В Париже экземпляры получили только Шарль Эрмит и Камиль Жордан; Карл Вейерштрасс получил один экземпляр в Берлине. Жордану, например, Миттаг-Леффлер писал о том, что хотел сообщить об ошибке, закравшейся в текст, но вскоре обнаруженной. Он просил его передать свой экземпляр для исправления, чтобы получить обновлённое издание. «Пожалуйста, никому не говорите ни слова об этой достойной сожаления истории, — призывал он Эрмита, — я сообщу вам все подробности завтра».
Отслеживая остальные экземпляры один за другим, Миттаг-Леффлер надеялся, что все они были своевременно изъяты. «Я очень рад, — признавался он Пуанкаре, — что г-н Кронекер [знаменитый немецкий математик и заклятый враг Вейерштрасса] не получил свой экземпляр». Но даже союзники Миттаг-Леффлера начали вскоре возмущаться этой кампанией. В ответе Вейерштрасса на приторно любезное письмо Миттаг-Леффлера проступало очевидное недовольство: «Признаюсь вам, помимо всего прочего, что отношусь к этому не так легко, как вы, Эрмит и сам Пуанкаре».
Вейерштрасс недружелюбно заметил, что в его стране — Германии — считается общепринятым, что премированное сочинение должно быть напечатано в той форме, в которой оно оценивалось. Вейерштрасс добавил, что вопрос стабильности не был второстепенным для сочинения Пуанкаре; скорее, как указал Вейерштрасс в тексте, который должен был служить предисловием к работе Пуанкаре, это было центральным пунктом. Вейерштрасс требовал внести ясность: что именно в работе Пуанкаре осталось от всей позитивной программы?
Пуанкаре переписал статью. То, что получилось (или, скорее, то, что он придумал, для того чтобы восполнить пробел), лежало совершенно за пределами каких-либо возможных предположений. Хаос, а не стабильность, царствовал в этой новой Вселенной.
Вот что произошло. Предположим, вслед за Пуанкаре, что стабильная и нестабильная кривые пересекаются в фиксированной точке F. (Это не так трудно себе представить. Рассмотрим седло: шарик, посланный по прямой от передней луки вниз в направлении ленчика будет колебаться взад и вперёд, пока не расположится посередине седла — стабильная точка. Но если шарик отклонится вправо или влево, то упадёт и не вернётся в обратном направлении — нестабильная точка.) Теперь предположим, что наш астероид начинает двигаться рядом, но не на самой стабильной кривой. Он постепенно будет двигаться по направлению к F, до тех пор пока эта точка не станет совсем близкой, и в этот момент он подпадёт под влияние нестабильной кривой и начнёт удаляться от F. Это серия перфораций, С0, С1, С2, ..., С7, С8... До сих пор у Пуанкаре не было проблем.
Но предположим, что стабильная и нестабильная кривые пересекаются где-то ещё, например, в точке Н, которую Пуанкаре назвал гомоклинической точкой. Н тогда будет, по условию, одновременно и точкой на стабильной кривой S (приводящей последовательность проколов астероида к F), и точкой на нестабильной кривой U (так что астероид, движущийся неподалёку от точки F, будет сначала медленно, а затем всё быстрее прокалывать свои последовательные отверстия от F на U через H). Теперь предположим, что астероид летит через H. Так как он должен оставаться на S, он прокладывает свой путь в каждом последующем прохождении через лист (H1, H2, H3, и т.д.) вдоль S по направлению к F. Но так как любая точка на нестабильной кривой всегда остается на U, так как Н также находится на U, все отверстия, появившиеся после Н, также должны находиться на U. Получается, что продлённая кривая U должна содержать все последовавшие за Н отверстия, как мы только что видели: Н1, Н2, Н3, ... и т.д. Один из вариантов того, как это может произойти, представлен на рисунке ниже.
Хаос на карте Пуанкаре
Когда стабильная и нестабильная кривые пересекаются, может возникнуть сложность. И именно эту возможность Пуанкаре оставил нерешённой в своей первой редакции премированной рукописи. Как было отмечено в тексте, это ведёт к чрезвычайно сложному расширению нестабильной кривой, которая начинается в а, а затем более полно развивается в b. Даже сама диаграмма а есть только начало той сложности, которая последует по мере того, как будут учитываться новые точки пересечения S и U (точки, обозначенные «Х»). Понятно, что Пуанкаре отчаялся когда-либо графически изобразить «решётчатость», которая должна была бы показать более точную траекторию.
Теперь рассмотрим другой астероид, С, неподалеку от Н, но на U. Поскольку Н находится на S, С (рядом с S) начнёт двигаться к F. В то же время, ввиду того что С начинает своё движение на U, его проколы (С1, С2, С3 и т.д.) должны оставаться на U, если U будет продлена. Таким образом, серия отверстий С1, С2, С3 движется к F. Но в конце концов, если отверстия, следующие за С, сначала приближаются к F, последующие С будут идти в обратном направлении на всём протяжении нестабильной кривой U.
С того момента как U пересекает S в Н, С, принадлежащие U, также в конечном счёте будут пересекать S. Кривая U после пересечения S в Н3, должна проделать обратный путь к С4 для того, чтобы настичь её, а затем кривая U должна ещё раз приблизиться к F для того, чтобы пересечь S в Н4. Заметим, что поскольку продолженная кривая U к и от С6 пересекала кривую S (в двух точках, обозначенных «Х»), мы имеем две новые гомоклинические точки, и карта становится теперь ещё более сложной.
В результате всей этой сложности нестабильная кривая и, следовательно, любой астероид на или рядом с ней будет блуждать по всей карте Пуанкаре, создавая движение такой необычной сложности, что сам Пуанкаре оказался не в состоянии изобразить его. Когда он в конце концов переработал свою премированную статью, чтобы включить её в «Новые методы небесной механики», он изо всех сил бился над описанием получившихся фигур:
Если попытаться представить себе фигуру, образованную этими двумя кривыми и их бесчисленными пересечениями, каждое из которых соответствует двояко-асимптотическому решению, то эти пересечения образуют нечто вроде решётки, ткани, сети с бесконечно узкими петлями; ни одна из двух кривых никогда не должна пересечь сама себя, но она должна навиваться на самое себя очень сложным образом, чтобы пересечь бесконечно много раз все петли сети.
«Поражаешься сложности этой фигуры, которую я даже не пытаюсь изобразить, — добавил он. — Ничто не является более подходящим, чтобы дать нам представление о сложности задачи трёх тел».
Столетие спустя после публикации премированной работы с непростой историей исследование хаоса Пуанкаре было оценено как последний писк моды и прославлено как рассвет новой науки, революционный прорыв за границы простых предсказаний классической механики. Некоторые физики, философы и теоретики культуры конца XX века провозгласили науки о сложности (как они стали называться) формой «постмодернистской физики», в то время как мощные компьютеры выдавали на-гора карты Пуанкаре, подробно иллюстрируя то, что их создатель отчаялся когда-либо увидеть на бумаге. Одни из этих карт раскрыли новые физические феномены; другие — украсили картинные галереи. Но в 1890 году Пуанкаре не предполагал никакой революции в естественных науках. Столкнувшись с потенциально вредоносным скандалом для престижного конкурса, он всего лишь восполнил пробел в своей аргументации и, исследуя новую динамику, обнаружил то, что никогда не искал и не желал найти, — трещину в стабильности Вселенной.
Будучи далёк от размахивания революционным знаменем, Пуанкаре показал, что, хотя количество подобных хаотичных траекторий бесконечно, вероятность того, что астероид окажется в нестабильном режиме, ничтожна по сравнению с вероятностью того, что его орбита будет в стабильном режиме. После утраты абсолютной стабильности Пуанкаре вынужден был довольствоваться вероятностной: «Можно сказать, — писал он два года спустя после исправления своей работы, — что [нестабильные траектории], были исключением, а [стабильные] правилом». Вместо того чтобы декларировать крах стабильности, Пуанкаре подчёркивал силу новых качественных методов для исследования классической небесной динамики: «Подлинная цель небесной механики заключается не в расчёте эфемерид, поскольку для этой цели мы могли бы удовлетвориться краткосрочным прогнозом, но в том, чтобы выяснить, достаточно ли закона Ньютона для объяснения всех феноменов».
Для Пуанкаре истинное испытание физики Ньютона состояло в зондировании её качественных возможностей: «С этой точки зрения [речь идет об установлении обоснованности закона Ньютона], скрытые отношения, о которых я только что говорил, могут использоваться точно так же, как и эксплицитные формулы». На кону для Пуанкаре были основополагающие связи между вещами, а не формулы и координаты, которыми занимали себя астрономы, рассчитывая всё более точные траектории.
IQ
